算数 数学

●第7夜

(a+b)^nのときの、aとbの係数をn=0の場合、n=1の場合、n=2・・・と上からピラミッドのように並べていくと、パスカルの三角形が現れてきます。二項展開の係数を三角形状に並べたものというのだそうですが、素っ気ないいいかたですね。

 

三角形を形作る数字は、(a+b)×(a+b)×・・・と計算をしていかなくとも、係数同士の簡単な足し算でできるのがミソです。また、係数が簡単に取り出せる、だけじゃなく、三角形を形作る数字の並び方の性質そのものもおもしろいようです。

 

数字をあるルールに基づいて並べていくと、興味深い性質を見出すことがあるようですが、それが大自然がのなかにあるなんらかの秩序と似通っていたりすると、あらためてはっとするのです。「おもしろい」と思ったらしめたものでしょう。

 

パスカルの三角形も、パスカル以前にも研究されていて、パスカルはその成果をまとめて出版したので、そのような名前がついているようです。

 

この三角形には、中国「賈憲三角形」または「楊輝三角形」、イラン「ハイヤームの三角形」、イタリア「タルタリアの三角形」と時代や場所によってさまざまな名前が付けられているみたいです。

 

明治以降、西洋という窓を通して近代文明を取り入れてきた日本は「パスカル」という西洋人の名前の付いた三角形として理解してきたわけです。

 

 

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----- ここまで 20140709 -----

●第8夜

クラスの友達が教室の席の座り方でわいわいやっている夢を見ているロバートです。

 

一人にひとつづつ机と椅子があって、横に誰が座るのかでよく揉めた、学期のはじめの席替えのことを思い浮かべました。

 

ところが、ページの途中の挿絵をみると長い机に並んで座っている絵がのっています。順列を教えるための状況づくりで便利な様子をつくるのは自由だし、まして夢の中という話ですし。

 

友達が登校して教室にやってくるたびに、その時の人数でできるすべての並べ方を書き出すとき、その組合せの数の増え方は階乗で表すことができるということです。教室に3人やってくれば3の階乗=3×2×1=3!、5人来れば5の階乗=5!。

 

長机でも、一人ひとりが座る机でもいいのだけれで、学期ごとの席替えでは、3人でさえつ座りつくせないってことです。

 

まして、10人のクラスとなると3,628,800通りの座り方があるわけで、1日1回の席替えでも(土日なしで学校に行くとしても)9,942年かかります。

 

今日、すべての座り方の最後の姿を見たいと思ったら、縄文時代から席替えをはじめないといけないわけです。

 

1分ごとに席替えをして60,480時間、朝8時から12時まで、給食を食べた後1時から3時まで6時間やり続けると10,080日、土日も休まず席替えを続けて、28年かかります。

 

小学校に入学したその日から1分ごとに席替えを続けても、それだけをひたすらやり続けても、小学校の卒業までには極められない数の座りかたがあるわけで、学期の変わり目にくじ引きで席順を決めなければ埒が明かないわけなのですね。

 

校庭を掃除する人数のことで組合せの話をするのですが、そこにパスカルの三角形が出てきます。すでに組合せの数はパスカルの三角形の中にあらわれている・・・魔方陣的な働きをする三角形なんですね。

 

パスカルといえば、世界で最初に機械式の計算機を作ったそうです。税務官吏であった父が膨大な計算に苦しむのをみて、パスカル16才のときに考案し3年かかって作成したそうです。

 

その計算機の子孫のひとつが電卓で、今回の階乗の計算にも12桁の電卓をを使っています。パスカルの計算機は、足し算だけでしたが、電卓は引き算、掛け算、割り算、平方根も計算します。さすがに400年の差があるのですが、パスカルの三角形とともにその恩恵は十分に受けております。

 

 

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----- ここまで 20140712 -----

第9夜

無限の話です。
古代ギリシャ人は無限の話を巧妙に避けていました。パラドックスに陥るからです。

 

ゼノンのパラドックスは有名です。古代ギリシャ神話の中で最速のアキレスといえどもアキレスの前を進む亀を追い抜くことはできないというものです。
現代人といえども、ちょっとやそっとではこのパラドックスを論破するのは難しい。その呪縛から逃れることが出来るようになったのはごく最近のことだということです。

 

無限の半分は無限・・・?という困難を乗り切るために使われたのが、ものを数えるときの初歩の初歩である1対1対応でした。
今回の悪魔の所業は、この1対1対応をフル活用しています。整数と奇数や偶数を1対1対応させています。

 

普通は整数と半分と思われる偶数や奇数が見事に整数と1対1対応してしまいます。その他の数の並びも1対1対応してしまいます。無限を扱う難しさです。
ロバートのような少年には、感覚的に常識と異なる世界があることを分からせるくらいが関の山ではなかったでしょうか。

 

ここで、不思議に思い、数学に興味を持って勉強を始めるというのが良い子のストーリーなのですが、なにせ、この世界のプロデューサーは悪魔なのでそのような展開が待っているとは限りません。

 

興味を持ったロバート少年にオススメの本は、「無限論の教室」(野矢茂樹:講談社現代新書1998年9月20日:\660円)です。

 

この本のレビュー自体が面白いので、本の紹介サイトに跳んだらページの下の方に行って、是非読んでみてください。本の値段も、私が買った頃とは異なる値段が付いていますが、それだけ時間が経っているということです。

 

 

 

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----- ここまで 20140720 -----

第10夜

雪片のマジックという表題なので、正六角形から派生して、どこかに導かれていくのかと思いきや、始まったのはフィボナッチ数でした。

 

フィボナッチ数→1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,・・・
 1÷ 1=1
 2÷ 1=2
 3÷ 2=1.5
 5÷ 3=1.666666666・・・
 8÷ 5=1.6
13÷ 8=1.625
21÷13=1.615384615・・・
34÷21=1.619047619・・・
55÷34=1.617647059・・・
89÷55=1.618181818・・・

 

この収束していく値は、どんな意味を持っているのだろうと思い、探してみると「黄金数」ということが分かりました。

 

黄金数はΦ(ファイ)で表されて、以下の式で表現されます。
Φ=(1+√(5))/2

 

これは、2次方程式 X^2−X−1=0 の正の解になります。
数の悪魔は、この黄金数をいきなり連分数で表しましたが、普通の分数でも頭が痛くなるのに、小学校、中学校、そしてそれ以降もお目にかかったことがない連分数が出てくることに違和感を感じます。

 

Φ=1+1/(1+1/(1+1/(1+1/(1+・・))))

 

次に、図形正五角形を描いて、その一辺の長さと、その正五角形の対角線の長さを比較します。
正五角形の一辺の長さを1とすると、その対角線の長さは、Φになります。

 

今、一辺の長さがaの正五角形を描いて、その対角線の長さをbとします。

 

 

△ABE∽△APEですから、a:b=(bーa):aとなります。
  b(b−a)=a^2
  b^2ーabーa^2=0
  a=1 ですから
  b^2ーbー1=0

 

この2次方程式の解は、Φ(→黄金数)でした。めでたし、メデタシ。

 

いきなり、悪魔は五角形を構成している線、点、面の話を始めました。それぞれの数の関係が面白いというのです。
しかも、その性質は五角形に留まらず、あらゆる平面図形に一致する性質で、常に「1」に関係づけられるというのです。

 

さらに、平面図形にとどまらず、その関係は立体図形ににも言えて、「2」に関係付けられるというのです。
これらの関係から導かれた「1」や「2」はオイラー数と言うようで、その先には位相幾何学(トポロジー)という世界が広がっているようです。

 

 

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----- ここまで 20140727 -----

第11夜

証明です。
背理法と数学的帰納法がまず頭に浮かびます。図形では補助線、この補助線を見つけられなくて唸っている姿が浮かびます。

 

証明は論理の階段をひとつづつ登ってゆくようなものです。
有名どころでは、フェルマーの最終定理とポアンカレ予想が証明され、リーマン予想がまだ証明されていないというのが最近の話題でした。

 

フェルマーの最終定理は形が単純なだけに、最初見た瞬間から、「すぐ証明できる」と思ってしまうのですが、結局300年以上も数学者たちを悩ませたのでした。

 

数学で食べていこうと思ったら、決して手を出してはならないものだったようです。この証明のために、若くて才能のある数学者の卵たちが、幾人も潰れていったようですし、また名を成した大数学者の才能さえも奪っていった怪物でした。

 

だから、数学界ではフェルマーの最終定理に取り組んでいるということはおおっぴらには言えなくて、フツーに数学者をしていながら影で証明に取り組んで行かなくてはなりませんでした。

 

イギリスのワイルズ氏は7年間、ひとりでフェルマーと格闘していましたが、1994年に証明しました。論文は200ページ以上。査読した数学者も賞賛に値します。フェルマー・ワイルズの定理となって、歴史に刻まれました。

 

この定理に残された問題といえば、「初等的に」解くこと。解けることは分かりましたが、現代数学のあらゆる成果をてんこ盛りにしたような200ページの論文ではなくて、フェルマーの所有していた数学書の余白に書き込める程度の証明が残されているのです。

 

ポアンカレ予想は、位相幾何(トポロジー)を使って証明できると考えられていましたが、ロシアのペレルマン氏が「微分幾何」の手法を使って証明したようなのです。「ような」としか言いようのない、また聞きでしかわからない超絶の世界ですから。

 

今、テレビ的に有名どころの未解決問題としての、リーマン予想はいつ証明されるのか、楽しみですね。

 

■最初に思い浮かんだ背理法をみてみましょう。
【素数が無限にあることの証明】

 

素数が有限個しかないと仮定する。
その個数をn個とし,すべての素数を小さい順にならべ,
それらをP1,P2,P3,P4,P5,・・・,Pnとする。
(Pnは最大の素数である・・・@)
このとき,Q= P1×P2×P3×P4×P5×・・・×Pn +1という数Qを考える。
すると,Qの形より,Qは素数である・・・どの素数(P1,P2,P3,P4,P5,・・・,Pn)でわっても1あまるから。
また,@より,Qは素数ではない・・・最大の素数より大きいから。
よって,矛盾。
したがって,はじめの仮定が誤りであったことになり,素数は無限にある。

 

■次に数学的帰納法についてみてみます。

 

n,kを自然数、a,bを0以上の整数とすると、
命題P(n):6^n=10・a+6である。
n=1のとき
6^1=10×0+6
よって、P(1)は成り立つ。
n=kのとき、P(k)が成り立つとすると、
6^k=6・b+6
このときP(k+1)は
6^(k+1)=(10・b+6)×6
    =60・b+36
    =10×(6・b+3)+6
よってP(k+1)も成り立つ。
以上から、すべてのnについて命題P(n)は成り立つ。

 

ところで、インドのラマヌジャン氏にとって証明はそれほど必要には見えないようです。直感で山ほどの定理が浮かんでくるように見えるのです。

 

しかし、証明なくして、他者にその正しさを理解させることは困難です。数学で身を立てるとい観点から見れば、彼は不遇のうちに若くして病死しました。

 

それでも、自分の内なる声を表現することができたこと、彼の数学的直感を理解して、彼の定理を証明していったイギリスの数学者ハーディ氏という理解者に巡り会えたことを考えると、案外幸福だったのかもしれません。

 

 

 

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----- ここまで 20140801 -----

第12夜

今回の夢に登場される数学者は、ラッセル氏、クライン氏、カントール氏、オイラー氏、ガウス氏、ピタゴラス氏、フィボナッチ氏、そして名前は伝わっていないけれど人間が数を発見してから数学という世界を築き上げてきた世界の人々。

 

日本の関孝和氏のお姿が見えませんでしたが?

 

まもなく悪魔はロバートと分かれて自分の研究に戻ります。どんな研究をしているのかは明かさずじまいでした。案外、リーマン予想に取り組んでいるのかもしれません。

 

ロバートは夢から覚めても、悪魔からもらった星の勲章が手元にあるのに気づきます。悪魔の成せる技というところです。ロバートのこれからを予感させる証ですね。悪魔の粋なはからいというのでしょうか。

 

12夜が過ぎて、悪夢から覚めてみると、算数・数学が楽しくなっていました。

 

第11夜で、ラッセル氏が1+1=2を証明する、という件(くだり)があるのですが、1+1=2とはそもそも証明することなんてあり得るのだろうかと思うのでした。

 

ところが、真っ当に思考するとそうではないらしい。でも、証明するには、まず集合と写像を理解していないと始まらないようです。そして証明の道すがらに「Peanoの公理」が現れて、それを頼りに多くのことを定義して、そしてその定義を証明して・・・を繰り返して、最後の最後に1+1=2は証明されるようです。

 

物事を突き詰めていくと根っこの根っこを探しているような感じがして、しかも、当たり前と思っていたことがらが次から次へとあやふな世界に放り込まれて行くのです。

 

「ま、いいか」で日常を過ごしていても、そこそこに生きていけるのですが、「どうして?」を本気で考え始めると、夜も寝られなくなります。堂々巡りをする前に、既に先人たちが考えてくれていたことを調べて、そして理解することができれば、その日は安心して眠ることができます。

 

誰もまだ手をつけていない未解決の問題に取り組んでいる数学者のことを想像すると、ため息が出てしまいます。

 

 

そういえば、有名な未解決問題があります。

 

「クレイ数学研究所は2000年に数学上の7つの未解決問題に1億円の懸賞金をかけると発表しました。
そのうちの「ポアンカレ予想」は2年後にロシアの数学者グレゴロー・ペレルマンによって証明されましたが、14年たった今もなお残りの6つは解かれていません。」

 

7つ未解決問題を列挙しますが、問題自体が何をいっているのか理解できないのが、悲しいですね。
↓     ↓     ↓     ↓
1、ヤン-ミルズ方程式の存在と質量ギャップ問題
「任意のコンパクトで単純なゲージ群 G に対して R^4 上の自明でないヤン-ミルズ場の量子論が存在し、質量ギャップが存在することを示せるか?」

 

ヤン・ミルズ方程式の存在と質量ギャップ問題とは、任意のコンパクトな単純ゲージ群 G に対して、非自明な量子ヤン・ミルズ理論が R^4 上に存在し、質量ギャップ Δ > 0 を持つことを証明せよ、という問題である。存在とは、Streater & Wightman (1964)、Osterwalder & Schrader (1973) や Osterwalder & Schrader (1975) に主張されていることと少なくとも同等な確立された公理的な性質を持つことを意味している。

 

引用:wikipedia

 

2、リーマン予想

ζ(s) の自明でない零点 s は、全て実部が1/2の直線上に存在するのか?

 

最近では、虚部が小さい方から10兆個 (X. Gourdon and P. Demichel, 2004) までの複素零点は全てリーマン予想を満たすことが計算されており、現在までにまだ反例は知られていない。現在では多くの数学者が(当然のことだが、はっきりした根拠を持たずに)リーマン予想は正しいと考えているようである。

 

しかし無限にある零点から見ればたかだか有限の数表などは零点分布の全容を明らかにするには至らないとして、この数値計算の結果に対して慎重な数学者もいる。歴史上有名な数学者の中でもリーマン予想を疑っていた数学者はいる。

 

引用:wikipedia

 

3、P≠NP予想
クラスPとクラスNPは等しくないのか?

 

クラスPとは、決定性チューリング機械において、多項式時間で判定可能な問題のクラスであり、クラスNPは、Yesとなる証拠(Witnessという)が与えられたとき、多項式時間でWitnessの正当性の判定(これを検証という)が可能な問題のクラスである。
多項式時間で判定可能な問題は、多項式時間で検証可能であるので、P⊆NPであることは明らかであるが、PがNPの真部分集合であるか否かについては明確ではない。

 

証明はまだ無いが、多くの研究者はP≠NPだと信じている。そして、このクラスPとクラスNPが等しくないという予想を「P≠NP予想」という。

 

引用:wikipedia

 

4、ナビエ-ストークス方程式の解の存在と滑らかさ

ナビエ-ストークス方程式の解の基本的性質さえ、証明されていない。

 

方程式の 3次元の系について初期条件が与えられたとき、滑らかな解が常に存在すること、もし存在するとしたらその解が質量当たり有界なエネルギーを持っているかということを、数学的にはいまだに証明されていない。この問題をの解の存在と滑らかさの問題という。

 

引用:wikipedia

 

5、ホッジ予想
複素解析多様体のあるホモロジー類(ホッジ類)は、代数的なド・ラームコホモロジー類であろう、つまり、部分多様体のホモロジー類のポアンカレ双対の和として表されるようなド・ラームコホモロジー類であろうという予想。

 

引用:wikipedia

 

6、ポアンカレ予想(解決済)
単連結な3次元閉多様体は3次元球面 S^3 に同相なのだろうか?

 

2002年から2003年にかけて当時ステクロフ数学研究所に勤務していたロシア人数学者グリゴリー・ペレルマンはポアンカレ予想を証明したと主張し、論文をプレプリント投稿サイトとして著名なarXivにて公表した。

 

そのなかで彼はリチャード・ストレイト・ハミルトンが創始したリッチフロー(Ricci flow)の理論に「手術」と呼ぶ新たな手法を付け加えて拡張し、驚くべきことにサーストンの幾何化予想を解決してその系としてポアンカレ予想を解決した(と宣言した)。

 

非常に単純に言えば、幾何化予想とは、多様体を8つのピースに分割し、そのピース毎に幾何的性質を調べるというものである。一方で、リッチフローを用いたときに、ピースから全体を構成し直すときに特異点が発生する可能性がある。

 

ペレルマンはこの特異点の発生条件と特異点の性質を調べ、特異点が発生しないような手法を考えた。それが「手術」といわれる方法である。

 

ほとんどの数学者がトポロジーを使ってポアンカレ予想を解こうとしたのに対し、ペレルマンは微分幾何学と物理学の手法を使って解いてみせた。

 

そのため、解の説明を求められてアメリカの壇上に立ったペレルマンの解説を聞いた数学者たちは、「まず、ポアンカレ予想を解かれたことに落胆し、それがトポロジーではなく微分幾何学を使って解かれたことに落胆し、そして、その解の解説がまったく理解できないことに落胆した」という。

 

引用:wikipedia,msp.warwick.ac.uk

 

7、バーチ・スウィンナートン=ダイアー予想
楕円曲線E上の有理点と無限遠点Oのなす有限生成アーベル群の階数(ランク)が、EのL関数 L(E, s) のs=1における零点の位数と一致するのか?
↑     ↑     ↑     ↑     ↑

 

正直に 「分からない」 と白状するところから、第一歩が始まると信じたいのです。

 

頂きに到達するためには、麓から歩き始めなければなりませんが、麓で見つけた綺麗な小石を拾って嬉しがっている、というのが現状です。それでも十分楽しくて、幸せです。

 

 

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----- ここまで 20140806 -----

 

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