算数 数学

三平方の定理 update 20101209

三平方の定理

 


 直角三角形の三平方の定理について証明を試みます。

 

 別名「ピタゴラスの定理」は有名で、証明の方法は何種類かあるはずなのですが、「ふ〜ん」と感心してはいたものの、自分で解いた事が一度もありませんでした。

 

 そこで、これを機会に、参考書や教科書を参考にせず、図とにらめっこして、なんとか証明をしてみようと思ったのです。

 

 証明に使う直角三角形は、上にあるようなものです。

 

 まず思いついたのは、三角形の相似を使うことです。

 

 (証明その1)
 △ACBは直角三角形である。
  ∠C=∠Rの頂点Cより 斜辺cに垂線を降ろし
 斜辺との好転をDとする。 このとき斜辺Cは点Dにより
 nおよびmに分割される。

 

 ここで、△BAC∽△BCD∽△CADである。
 したがって各三角形における各辺の比は等しいので

 

 n:a = a:c ・・・・@
 m:b = b:c ・・・・A
 また m+n = c ・・・・B であるから
 @より
 n/a = a/c  →  n = a^2/c ・・・・C
 Aより
 m/b = b/c  →  m = b^2/c ・・・・D

 

 BCおよびDより
 m+n = a^2/c + b^2/c
    c = a^2/c + b^2/c
 この両辺にc (≠ 0)を乗ずると

 

 a^2 + b^2 = c^2

 

 三平方の定理になりました。 証明終わりました。(つづく・・・かな)

 

 

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図形で説明

 

 

 

 

 

 

 

 

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