算数 数学

負×負=正 update20081103

負×負=正(1)

式だけ追跡していくだけでも、 負×負=正 を見いだすことはできるのです。

 

 a、b>0なる任意の実数a、bにおいて

 

 a×0=0
のとき

 

 a=2×a+(−a)
 0=b+(−b)
とおくと

 

 〔2×a+(−a)〕×〔b+(−b)〕=0
である

 

 ∴ 2×a×b+2×a×(−b)
+ (−a)×b + (−a)×(−b)=0

 

2×a×b+2×a×(−b)=0であるから

 

 (−a)×b+(−a)×(−b)=0

 

両辺に a×b を足すと

 

 (−a)×(−b)= a×b

 

したがって 負×負=正 であることが示されました。

 

 

しかし、式の変形では、腑に落ちない。
なんとなく、まやかしにあったような気がするのではないのでしょうか。

 

借金 × 借金 = 貯蓄」 

 

になるような感覚をうち破る、
感覚的な説明が必要な気がするのです。

 

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----- ここまで 20081101 -----

負×負=正(2)

符号(+,−)の意味を考えています。

 

 1 基準からの増減
 2 方向の反転
 3 意味の反転

 

いろいろな例を思い出してみて、思いつくままに意味を考えてみました。
上の3つでも、意味が重複しているぞ、と言われるかもしれませんし、
まだこんな意味がある、ということもあるでしょう。

 

足りない能力は許してもらって、
着目したいのは3番目の「意味を反転する」符号というところです。

 

具体的に記述してみます。

 

 (+1)  ×  (+        3)  =  +3
 山がひとつ  (そのままの意味で)その3倍    山が3つ

 

 (+1)  ×  (−        3)  =  −3
 山がひとつ(反対の意味にして)その3倍 (山の反対の)穴が3つ

 

 (−1)  ×  (+        3)  =  −3
 穴がひとつ  (そのままの意味で)その3倍    穴が3つ

 

 (−1)  ×  (−        3)  =  +3
 穴がひとつ(反対の意味にして)その3倍 (穴の反対の)山が3つ

 

直感的に分かるでしょうか。

 

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----- ここまで 20081102 -----

負×負=正(3)

ちなみに、「やりなおし基礎数学:小野田襄二著」では、
「第6章 負の数のかけ算はプラスか?」と、
1章をさいて記述しています。

 

最終的には、「プラスとマイナスの平面座標への発展
という項目に発展させて、理解するように記述されています。

 

一方、「算数・数学が得意になる本:芳沢光雄著」では、
「第2部中学編 2−2 【負の数】を含む掛け算・割り算」と、
やはり1章をさいて記述しています。

 

この本の特徴は、
乗除でつまずく者は、加減でつまずいていないか。」という問いを発し、
分からない子にはそこから丁寧に説明してやらなければ、

 

乗除は分からないとして、本当に丁寧に、
マイナスを含む加減の説明をしていることです。

 

芳沢氏は、多くの中学の先生と話し合ったところ、
「マイナス×マイナスがプラス」になることを理解させる

 

いくつかの方法があるうちで、最適なのは

 

 「 速さ × 時間 = 距離 」

 

を用いることである、というのだそうです。

 

 速さ=(単位時間に進む距離)と(進んだ方向【右か左、東か西】)

 

 時間=(かかった時間)と(時間の方向【→未来か過去か】)

 

速さにも時間にも、単なる量のみではなくて、
進むのか(or)戻るのか、何分後なのか(or)何分前なのか、
方向の反転の意味を符号にもたせていることが分かります。

 

たとえば、太郎君の現在の地点(移動する距離の起点であり、
計測する時間の起点でもある)から、

 

 ・東を進む方向のプラスの向きとして
 ・何分後(未来)を時間の方向のプラスとする

 

  

 

と、次のようなことが、考えられます。

 

太郎が毎分50mで歩くとすると
 ・東の方向に歩いているとき、60分後の太郎君の移動距離

 

  この場合、(東→プラス)、(後→プラス)ですから、
  (+50)×(+60)で表せます。

 

答えは、東へ3000mのところだから、
  (+50)×(+60)=(+3000)

 

 ・西の方向に歩いているとき、60分後の太郎君の移動距離
  この場合、(西→マイナス)、(後→プラス)で、

 

答えは西へ3000mのところだから、
  (−50)×(+60)=(−3000)

 

 ・東の方向に歩いているとき、60分前に太郎君がいたところ
  この場合、(東→プラス)、(前→マイナス)で、

 

答えは西に3000mのところだから、
  (+50)×(−60)=(−3000)

 

 ・西の方向に歩いているとき、60分前の太郎君がいたところ
  この場合、(西→マイナス)、(前→マイナス)で、

 

答えは東に3000mのところだから、
  (−50)×(−60)=(+3000)

 

非常にイメージしやすい説明の要領だと思います。
「マイナスの数」ではなく、「マイナスの符号の意味」を理解すること、
これが重要だと思いました。

 

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----- ここまで 20081103 -----

 

 

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